Welsh, classe '42, ha debuttato sullo schermo nella serie antologica Shoestring Theatre nel 1963. Da lì la sua carriera lo ha portato a toccare vette sempre più alte, soprattutto negli anni '80 e '90. Infatti è stato in questo periodo che ha interpretato i ruoli che lo hanno reso più celebre in prodotti come Covergirl, Crocodile Dundee II, The Twilight Zone, Spenser: For Hire, The X-Files ed Empire, Inc. Nell'84 l'attore è stato anche Reno Colt nel film Reno and the Doc, ruolo che lo ha portato alla nomination per un Genie Award. Tuttavia il personaggio più conosciuto da lui interpretato è quello di Windom Earle, l'ex agente dell'FBI in coppia con l'agente Cooper, nell'ormai iconica serie del 1990 Twin Peaks.
Welsh ha poi interpretato numerosi ruoli storici, come Thomas Edison e Harry Crerar, continuando a mettersi in gioco in prodotti di vario genere, compreso il mondo dei supereroi, dove ha fatto il suo ingresso grazie a Smalville. I suoi ultimi crediti sono stati in Star Trek: Discovery, Lodge 49 e Charmed.
